空间中的角度

题1: 24．三棱锥$P-ABC$中，$PA=PB=PC$，底面$ABC$是边长为3的正三角形，$E$，$F$分别是$PA$，$AB$的中点，且$CE\bot EF$，

题2: 8．如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB=AC=2$，$AA_{1}=3$，$\angle BAC=60\circ$，$\angl

题3: 1．已知二面角$\alpha -l-\beta$的平面角为$\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2}),A\in \alpha ,B\i

题4: 7．已知直线$l:mx+y+3=0$，且向量$(1-m,2)$是直线$l$的一个方向向量，则实数$m$的值为$($　　$)$

题5: 11．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，底面$ABCD$是正方形，$CC_{1}=2$，$CD=3$，且$

题6: 19．已知空间中三点$A(0$，1，$0)$，$B(2$，2，$0)$，$C(-1$，1，$1)$，则下列说法正确的是$($　　$)$

题7: 4. 如图所示，在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$为线段$A_{1}C_{1}$上的动点，则下列直线中与直线$CE$夹角

题8: 13．如图，在平行六面体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，底面$ABCD$是菱形，侧面$A_{1}ADD_{1}$是正方形，且$\ang

题9: 5．空间中有三点$P(1$，$-2$，$-2)$，$M(2$，$-3$，$1)$，$N(3$，$-2$，$2)$，则点$P$到直线$MN$的距离为$($　　$)

题10: 23. 在平行四边形$ABCD$中，$\angle A=60\circ$，$AB=1$，$AD=2$，将$\Delta ABD$沿$BD$折起，使得平面$ABD

题11: 9．直线$3x+y-2=0$的方向向量为$($　　$)$

题12: 1．已知$A(2$，2，$0)$、$B(1$，4，$2)$、$C(0$，2，$0)$，则原点$O$到平面$ABC$的距离是$($　　$)$

题13: 空间角

题14: 24. 正四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB=4$，$AA_{1}=8$，$E$为$CC_{1}$中点，$O_{1}$为下底

题15: 19. 如图，在正四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB=2$，$AA_{1}=4$．点$A_{2}$，$C_{2}$，$D_{

题16: 6. 正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M$，$N$分别是$A_{1}D_{1}$，$B_{1}C_{1}$的中点，则异面直线

题17: 6．如图，在正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AA_{1}=3$，此三棱柱的体积为$6\sqrt{3}$，$P$为侧棱$AA_{1}$上点

题18: 3．在三棱锥$P-ABC$中，底面$ABC$是边长为2的等边三角形，点$P$在底面$ABC$上的射影为棱$BC$的中点$O$，且$PB$与底面$ABC$所成角为

题19: 2．如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是菱形，$PA\bot$平面$ABCD$，$PA=AB=2$，$PD$的中点为$F$． （1）求证：$PB

题20: 21．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中$a=2$，$b=c=1$，$\alp

题21: 22. 正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为$a$，则棱$BB_{1}$到面$AA_{1}C_{1}C$的距离为$($　　$)$

题22: 7. 如图，在直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB\bot BC$，$AB=BC=2$，$M$，$N$分别为$A_{1}B_{1}$，

题23: 8. 如图，在三棱台$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\Delta ABC$是等边三角形，$AB=2A_{1}B_{1}=4$，$CC_{1}=

题24: 14．如图，设正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为$a$．则顶点$B_{1}$到面$BA_{1}C_{1}$的距离为$($　　$

题25: 17. 如图，平面$ABCD\bot$平面$ABE$，点$E$为半圆弧$AB$上异于$A$，$B$的点，在矩形$ABCD$中，$AB=4BC$，设平面$ABE$

题26: 2．在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB=2$，$AA_{1}=AD=4$，$E$为$C_{1}D_{1}$的中点，则点$A

题27: 4．如图，在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AA_{1}=AB=2$，$BC=1$，点$P$在侧面$A_{1}ABB_{1}$

题28: 20．如图，在棱长为1的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，则$($　　$)$ ![图示 描述已自动生成](media/image8

题29: 27．如图，在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB=3$，$AD=AA_{1}=2$，点$E$在$AB$上，且$AE=1$．

题30: 11．如图，在三棱柱$BCD-B_{1}C_{1}D_{1}$与四棱锥$A-BB_{1}D_{1}D$的组合体中，已知$BB_{1}\bot CD$，四边形$A

题31: 19．如图，已知四棱锥$P-ABCD$的底面是直角梯形，$\angle ADC=\angle BCD=90\circ$，$AD=2BC=2CD=\sqrt{2}

题32: 11. 如图，在三棱锥$P-ABC$中，$\angle APC=90\circ$，平面$PAB\bot$平面$PAC$，平面$ABC\bot$平面$PAC$，$

题33: 13. 如图，四边形$ABCD$是边长为1的正方形，$AE\bot$平面$ABCD$，若$AE=1$，则平面$ADE$与平面$BCE$的夹角为$($　　$)$

题34: 3．如图，在正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，若$AB=BB_{1}=2$，则点$C$到直线$AB_{1}$的距离为$($　　$)$ ![形

题35: 10．如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，底面是边长为4的等边三角形，$CC_{1}=4$，$\angle ACC_{1}=60\cir

题36: 4．如图，在四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，侧棱$A_{1}A\bot$平面$ABCD$，$AB//DC$，$AB\bot AD

题37: 5．在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB=AD=2$，$AA_{1}=3$，$O$是$AC$的中点，点$P$在线段$A_{1

题38: 2024高考空间几何解答(常规)

题39: 7．如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$AB=2AD=2$，$PA\bot$平面$ABCD$，$E$为$PD$中点，且$PA=1$． （

题40: 8．如图正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，棱长为$a$，$M$、$N$分别为$AD$、$BD_{1}$的中点． （1）求证：$MN

题41: 7．如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，底面是边长为2的等边三角形，$CC_{1}=2$，$D$，$E$分别是线段$AC$，$CC_{1

题42: 9. 如图，在多面体$ABCDEF$中，四边形$ABCD$是一个矩形，$EF//AC$，$AC=2EF$，$AB=AE=2$，$AD=4$，$\angle B

题43: 2. 在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，点$P$在$AC_{1}$上运动（包括端点），则$BP$与$AD_{1}$所成角的取值

题44: 10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如"堑堵"指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，"阳马"指底面

题45: 3．在如图所示的几何体中，底面$ABCD$是边长为2的正方形，$AA_{1}$，$BG$，$CC_{1}$，$DD_{1}$均与底面$ABCD$垂直，且$AA_

题46: 1．四棱锥$P-ABCD$中，四边形$ABCD$为菱形，$AD=2$，$\angle BAD=60\circ$，平面$PBD\bot$平面$ABCD$． （1）

题47: 18．如图，在三棱锥$P-ABC$中，$AB\bot BC$，$AB=2$，$BC=2\sqrt{2}$，$\Delta PBC$为等边三角形，$BP$，$AP

题48: 5．如图，正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，各棱长均为4，$N$是$CC_{1}$的中点． （1）求点$N$到直线$AB$的距离； （2）求

题49: 16．如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为直角梯形，$AB//CD$，$AB\bot AD$，$AB=AD=2$，$CD=4$，$PA=PD=\

题50: 5. 某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为$

题51: 20. 如图所示的多面体是由底面为$ABCD$的长方体被截面$AEC_{1}F$所截得到的，其中$AB=4$，$BC=2$，$CC_{1}=3$，$BE=1$，

题52: 15．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体"阳马"实为"底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥"．如图，在"阳马"

题53: 9．如图，正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为2． （1）用空间向量方法证明：$A_{1}C_{1}//$平面$ACD_{1}$

题54: 13．如图，在四棱锥$P$---$ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，侧棱$PA\bot$底面$ABCD$，$AB=\sqrt{3}$，$BC=1$，$PA=

题55: 21. 如图，点$P$为矩形$ABCD$所在平面外一点，$PA\bot$平面$ABCD$，$Q$为$AP$的中点，$AB=3$，$BC=4$，$PA=2$，则点

题56: 18. 如图，四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，底面$ABCD$为正方形，$AC$与$BD$交于点$O$，平面$A_{1}C_{1

题57: 12. 如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$PA\bot$平面$ABCD$，底面$ABCD$为正方形，$E$为线段$AB$的中点，$PA=AB=2$． （Ⅰ）求

题58: 1. 在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，已知$AA_{1}=2AD=2CD$，点$E$是线段$CD$的中点，则异面直线$D_{

题59: 10. 如图，已知在四棱锥$P-ABCD$中，$PA\bot$平面$ABCD$，点$Q$在棱$PA$上，且$PA=4PQ=4$，底面为直角梯形，$\angle

题60: 9．如图，在等腰梯形$ABCD$中，$AB//CD$，$\angle ABC=60\circ$，四边形$ACFE$为矩形，平面$ACFE\bot$平面$ABCD

题61: 25．在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AA_{1}=1$，$A_{1}D_{1}=1$，$AB=\sqrt{2}$，$M$为

题62: 11．如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，△$AB_{1}C$为等边三角形，四边形$AA_{1}B_{1}B$为菱形，$AC\bot B

题63: 15．如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，平面$AA_{1}C_{1}C\bot$平面$ABC$，$\Delta ABC$为等边三角形，

题64: 23．在三棱锥$O-ABC$中，$\angle AOB=\angle BOC=\angle AOC=60\circ$，则直线$OA$与平面$BOC$所成角的正弦

题65: 14．如图，直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的底面边长和侧棱长都为2，点$D$在棱$BB_{1}$上运动（不包括端点）． （1）若$D$为$B

题66: 26．如图，在多面体$ABCDEF$中，四边形$ABCD$是边长为3的正方形，平面$CDE\bot$平面$ABCD$，$AF\| DE$，$DE\bot CD$

题67: 28．已知空间中三点$A(2$，$-1$，$1)$，$B(1$，1，$0)$，$C(4$，$-3$，$3)$．设$\overrightarrow{a}=\ove

题68: 13．如图，在三棱锥$P-ABC$中，侧面$PAB$是锐角三角形，$PA\bot BC$，平面$PAB\bot$平面$ABC$． （1）求证：$AB\bot B

题69: 2．在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，点$M$为棱$AB$上的动点，则$A_{1}M$与平面$ABC_{1}D_{1}$所成角的

题70: 20．如图所示，多面体$ABCDEF$中，底面$ABCD$为正方形，四边形$BDEF$为矩形，且$ED\bot AB$，$BD=2$，$DE=1$． （Ⅰ）求平

题71: 12．如图所示，在棱长为2的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，点$P$在棱$C_{1}D_{1}$上，且$BP=3$，则点$A$，

题72: 18．如图，矩形$ABCD$中，$AD=\sqrt{2}AB=10\sqrt{2}$，边$AD$，$BC$的中点分别为$E$，$F$，直线$BE$交$AC$于点

题73: 8．在棱长均为2的正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$E$为$B_{1}C_{1}$的中点．过$AE$的截面与棱$BB_{1}$，$A_{1

题74: 17．如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$AD//BC$，$AB\bot AD$，$PA=PD$，$AB\bot PA$，$AD=2$，$AB=BC=1$．$E

题75: 4．在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，棱长为2，平面$\alpha$经过点$A$，且满足直线$AA_{1}$与平面$\alpha

题76: 17．在四棱锥$S-ABCD$中，$SD\bot$平面$ABCD$，底面$ABCD$是正方形，则下列结论中正确的是$($　　$)$

题77: 14．如图，在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB=3$，$AD=AA_{1}=2$，点$E$在$AB$上，且$AE=1$．

题78: 10．如图，在菱形$ABCD$中，$AB=2$，$\angle DAB=60\circ$，$M$，$N$分别为$BC$，$CD$的中点，将$\Delta MNC

题79: 2025高考空间几何解答(常规)

题80: 2024高考空间几何解答(常规)

题81: 空间角综合