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#009ef0a7-f397-4ad1-9a61-77fca9807c02基础解答题函数的单调性函数

考点来源：一数《对数函数从基础到进阶》一数《导数进阶·端点效应失效应对策略》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《二次函数与不等式》

14．已知 $m\geqslant 0$ ，函数 $f(x)=2\vert x-1\vert -\vert 2x+m\vert$ 的最大值为4，（1）求实数 $m$ 的值；（2）若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a-2b+c=m$ ，求 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的最小值．

解析

【解答】解：（1）

f(x)=2\vert x-1\vert -\vert 2x+m\vert =\vert 2x-2\vert -\vert 2x+m\vert \leqslant \vert (2x-2)-(2x+m)\vert =\vert m+2\vert

，

\because m\geqslant 0

，

\therefore f(x)\leqslant \vert m+2\vert =m+2

，当

(2x-2)(2x+m)\geqslant 0

时取等号，

\therefore f(x)_{max}=m+2

，又

f(x)

的最大值为4，

\therefore m+2=4

，即

m=2

．（2）根据柯西不等式得：

(a^{2}+b^{2}+c^{2})[1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}]\geqslant (a-2b+c)^{2}

，

\because a-2b+c=m=2

，

\therefore

{a^2}+{b^2}+{c^2}\geqslant \frac{2}{3}

当且仅当

\frac{a}{1}=\frac{b}{-2}=\frac{c}{1}

，即

a=\frac{1}{3}

，

b=-\frac{2}{3}

，

c=\frac{1}{3}

时等号成立．

\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}

的最小值为

\frac{2}{3}

．

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