2024高考函数恒成立综合(解答)

已知函数 $f(x) = \ln(1+x) - \dfrac{ax}{1+x}$，定义域为 $(-1, +\infty)$。

(1) 若 $a > 0$，求 $f(x)$ 的最小值（用含 $a$ 的式子表示）；

(2) 当 $a = 1$ 时，证明：曲线 $y = f(x)$ 关于点 $\left(0, f(0)\right)$ 中心对称；

(3) 若对任意 $x \in (0,1]$，不等式 $f(x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。