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#04e17b81-fe92-4b5a-9f8d-a33fed603b0b中等解答题函数的奇偶性函数

判断含绝对值与分段表达式的函数奇偶性

已知函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - |x|}{x}$ ，定义域为 $x \neq 0$ 。（1）化简 $f(x)$ 的解析式，写成分段函数形式；（2）判断 $f(x)$ 的奇偶性，并给出严格证明。

解析

（1）由定义域

x \neq 0

，分情况讨论绝对值：当

x > 0

时，

|x| = x

，故

f(x) = \frac{x^2 - x}{x} = \frac{x(x - 1)}{x} = x - 1\quad (x > 0).

当

x < 0

时，

|x| = -x

，故

f(x) = \frac{x^2 - (-x)}{x} = \frac{x^2 + x}{x} = \frac{x(x + 1)}{x} = x + 1\quad (x < 0).

因此，

f(x)

的分段形式为： f(x) = x - 1, & x > 0, ； x + 1, & x < 0. （2）判断奇偶性：首先，定义域

(-∞, 0) ∪ (0, +∞)

关于原点对称，满足奇偶性定义的前提条件。任取

x > 0

，则

-x < 0

，有：

f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1.

而

-f(x) = -(x - 1) = -x + 1

，故

f(-x) = -f(x)

。再取

x < 0

，则

-x > 0

，有：

f(-x) = (-x) - 1 = -x - 1,

而

-f(x) = -(x + 1) = -x - 1

，同样有

f(-x) = -f(x)

。综上，对任意

x ≠q 0

，均有

f(-x) = -f(x)

，故

f(x)

是奇函数。答案：

f(x)

是奇函数。