2025高考函数零点综合(解答)

已知函数 $f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R}$，且满足：

（ⅰ）$f(x)$ 是四次多项式，首项系数为 $1$；

（ⅱ）对任意 $x \in \mathbb{R}$，恒有 $f(x+1) + f(x-1) = 2f(x) + 4$；

（ⅲ）$f(0) = 0$，$f(1) = 1$。

令 $S(a) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) = a \}$，其中 $a > 0$ 为参数。

（1）判断：当 $a = 0$ 时，$0$ 是否属于 $S(a)$？说明理由；

（2）求使 $|S(a)| = 4$（即方程 $f(x) = a$ 恰有 4 个实数解）的实数 $a$ 的取值范围；

（3）若 $f(x)$ 还是偶函数，证明：方程 $f(x) = 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上至多有 9 个实数解。