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#1295a49e-2149-41e4-a1ac-7e5aebcdba7f中等解答题恒成立与端点效应导数
考点来源：一数《必要探路法！导数不能不学的方法》一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》

17．（2023春•驻马店月考）已知函数f(x)=x24−xf(x)=\frac{{x}^{2}}{4}-\sqrt{x}． （1）求曲线y=f(x)y=f(x)在点(4(4，ff（4）))处的切线方程； （2）若f(x)⩾af(x)\geqslant a恒成立，求aa的取值范围．

解析
【解答】解：（1）∵<span>f(x)=(x)/(2)−/12√(x)\because<span>f (x)=(x)/(2)-/12√(x)， </span>f′(4)=74</span>f\prime (4)=\frac{7}{4}，ff（4）=2=2． 则曲线y=f(x)y=f(x)在点(4(4，ff（4）))处的切线方程为y−2=74(x−4)y-2=\frac{7}{4}(x-4)， 即7x−4y−20=07x-4y-20=0． （2）∵\becausef′(x)=xx−12xf\prime (x)=\frac{x\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}， 令函数g(x)=xx−1g(x)=x\sqrt{x}-1，g′(x)=3x2⩾0g\prime (x)=\frac{3\sqrt{x}}{2}\geqslant 0． 所以g(x)g(x)在(0,+∞)(0,+\infty )上单调递增． 因为gg（1）=0=0，所以当x>1x>1时，xx−1>0x\sqrt{x}-1>0，即f′(x)>0f\prime (x)>0， 当0<x<10<x<1时，xx−1<0x\sqrt{x}-1<0，即f′(x)<0f\prime (x)<0， 所以f(x)f(x)在(0,1)(0,1)上单调递减，在(1,+∞)(1,+\infty )上单调递增， 则f(x)⩾f(1)=−34f(x)\geqslant f(1)=-\frac{3}{4}． 因为f(x)⩾af(x)\geqslant a恒成立，所以a⩽−34a\leqslant -\frac{3}{4}． 故aa的取值范围为(−∞,−34](-\infty ,-\frac{3}{4}]．

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