#1373de07-4f24-4032-be0c-056b666f2ed1简单解答题函数解析式求法函数
考点来源：一数《函数基础！一课搞定！》
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式，并作出函数的大致的简图； （作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）； （2）根据图象写出函数单调区间； （3）若不等式在，上有解，求的取值范围．
解析
我们来**完整、严谨、分步骤**地解答这道题，严格遵循题目要求：每步有推导、不省略关键过程、用 LaTeX 格式书写公式，并最终给出明确答案。
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### **（1）求函数 f(x) 的解析式，并作出大致简图**
#### **① 利用奇函数性质求 x < 0 时的表达式**
已知：
- f(x) 是定义在 \mathbb{R} 上的**奇函数**，即对任意 x ∈ \mathbb{R} ，恒有
f(-x) = -f(x) \quad \text{（定义）}
- 当 x ≥ 0 时， f(x) = x^2 - 2x 。
设 x < 0 ，则 -x > 0 ，故可代入已知表达式：
f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x.
由奇函数性质：
f(x) = -f(-x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x.
因此，函数 f(x) 的**分段解析式**为：
f(x) =
x^2 - 2x, & x ≥ 0, \\
-x^2 - 2x, & x < 0.
✅ **此即第（1）问的解析式。**
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#### **② 列表描点（关键点选取需覆盖特征：顶点、零点、对称性）**
我们选取 x ∈ [-2, 3] 区间内若干关键点（含分段点 x = 0 ），计算对应 f(x) 值：
| x | 计算过程 | f(x) |
|--------|-----------|------------|
| -2 | f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) = -4 + 4 = 0 | 0 |
| -1 | f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1 | 1 |
| 0 | f(0) = 0^2 - 2 · 0 = 0 | 0 |
| 1 | f(1) = 1^2 - 2 · 1 = 1 - 2 = -1 | -1 |
| 2 | f(2) = 2^2 - 2 · 2 = 4 - 4 = 0 | 0 |
| 3 | f(3) = 3^2 - 2 · 3 = 9 - 6 = 3 | 3 |
补充一个负侧点以更清晰反映左支形状：
- x = -3 ： f(-3) = -(-3)^2 - 2(-3) = -9 + 6 = -3 → f(-3) = -3
但题目作图仅要求“大致简图”，且后续问题只涉及 [-1,3] ，故上述 6 个点已足够。
整理列表如下（按 x 升序排列）：
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|----------|---------|---------|--------|--------|--------|--------|
| f(x) | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 | 3 |
✅ **列表完成。**
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#### **③ 分析图象特征，辅助作图**
- **右半支（ x ≥ 0 ）**： f(x) = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 ，是开口向上的抛物线，顶点在 (1, -1) ，与 x 轴交于 x = 0 和 x = 2 。
- **左半支（ x < 0 ）**： f(x) = -x^2 - 2x = -(x^2 + 2x) = -(x+1)^2 + 1 ，是开口向下的抛物线，顶点在 (-1, 1) ，与 x 轴交于 x = -2 和 x = 0 。
验证奇函数对称性：
- f(-1) = 1 ， f(1) = -1 → 满足 f(-x) = -f(x) ；
- f(-2) = 0 = -f(2) ；
- f(0) = 0 ，符合奇函数必过原点。
✅ 图象关于原点中心对称，左右两支分别为顶点在 (-1,1) 和 (1,-1) 的抛物线弧。
> （作图说明：按列表描出点 (-2,0), (-1,1), (0,0), (1,-1), (2,0), (3,3) ，用平滑曲线连接左支（开口向下）、右支（开口向上），注意在 x=0 处连续光滑（因左右极限均为 0，且导数？稍后分析），再用黑笔描实。此处为文字描述，实际需手绘。）
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### **（2）根据图象写出函数单调区间**
我们**严格通过解析式求导或配方法分析单调性**（不能仅凭草图猜测）：
#### **① 当 x > 0 时**： f(x) = x^2 - 2x
导数： f'(x) = 2x - 2
令 f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1
- x ∈ (0,1) ： f'(x) < 0 ⇒ f **单调递减**
- x ∈ (1,+∞) ： f'(x) > 0 ⇒ f **单调递增**
#### **② 当 x < 0 时**： f(x) = -x^2 - 2x
导数： f'(x) = -2x - 2 = -2(x + 1)
令 f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1
- x ∈ (-∞, -1) ： x + 1 < 0 \Rightarrow f'(x) = -2(x+1) > 0 ⇒ f **单调递增**
- x ∈ (-1, 0) ： x + 1 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0 ⇒ f **单调递减**
#### **③ 在 x = 0 处是否可导？是否影响单调区间？**
左右导数：
- 左导数： \lim_{x \to 0^-} f'(x) = -2(0+1) = -2
- 右导数： \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 2· 0 - 2 = -2
→ 左右导数相等，故 f'(0) = -2 ，函数在 x = 0 处**可导**，且单调性一致（递减）。
但注意：虽然 f'(0) = -2 < 0 ，但 x = 0 是分段点，需结合两侧行为判断区间合并。
观察单调性变化点：
- 递增区间： (-∞, -1) ， (1, +∞)
- 递减区间： (-1, 1) （因为 (-1,0) 递减， (0,1) 也递减，且在 x=0 连续可导，故可合并）
验证端点：
- x = -1 ：左侧增、右侧减 ⇒ 局部极大值点
- x = 1 ：左侧减、右侧增 ⇒ 局部极小值点
因此，**单调区间为**：
- 单调递增区间： (-∞,\ -1] 和 [1,\ +∞)
- 单调递减区间： [-1