等比数列通项与方程综合

已知数列$\{a_n\}$是各项均为正数的等比数列，且满足：$a_2 + a_4 = 10$，$a_3^2 = 16$。求该数列的通项公式$a_n$，并判断是否存在正整数$k$，使得$a_k,\, a_{k+1} + 1,\, a_{k+2}$成等差数列？若存在，求出所有满足条件的$k$；若不存在，说明理由。