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#1e90c02d-eb2e-4d34-b059-5af8f3aea7db中等填空题导数压轴题常见模型导数及其应用

17．（2023•河南模拟）已知函数 $f(x)=a({{x^2}-x})-\frac{lnx}{x}$ ，若不等式 $f(x)<0$ 有且仅有1个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为 ____．

解析

【解答】解：易知

f(x)

的定义域为

(0,+\infty )

，由

f(x)<0

有且仅有1个整数解，所以不等式

\frac{lnx}{x^2}>a({x-1})

有且仅有1个整数解．设

g(x)=\frac{lnx}{x^2}

，则

g'(x)=\frac{1-2lnx}{x^3}

，当

x\in ({0,\sqrt{e}})

时，

g'(x)>0

，

g(x)

为增函数；当

x\in ({\sqrt{e},+\infty })

时，

g'(x)<0

，

g(x)

为减函数．又

g

（1）

=0

，则当

0<x<1

时，

g(x)<0

；当

x>1

时，

g(x)>0

．设

y=a(x-1)

，则直线

y=a(x-1)

恒过点

(1,0)

，在同一直角坐标系中，作出函数

g(x)

与直线

y=a(x-1)

的图象，如图所示，

由图象可知，

a>0

，要使不等式

\frac{lnx}{x^2}>a({x-1})

有且仅有1个整数解，则.{l}{a<(g(2))/(2-1)}\\ {a≥ (g(3))/(3-1)}right.}right.，解得

\frac{ln3}{18}\leqslant a<\frac{ln2}{4}

，实数

a

的取值范围为

[{\frac{ln3}{18},\frac{ln2}{4}})

．故答案为：

[{\frac{ln3}{18},\frac{ln2}{4}})

．