5. 随着疫情的有效控制，某校学生开始返校复课学习．为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供$A$、$B$两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择$A$类套餐的概率为$\frac{2}{3}$、选择$B$类套餐的概率为$\frac{1}{3}$．而前一天选择了$A$类套餐第二天选择$A$类套餐的概率为$\frac{1}{4}$、选择$B$套餐的概率为$\frac{3}{4}$；前一天选择$B$类套餐第二天选择$A$类套餐的概率为$\frac{1}{2}$、选择$B$类套餐的概率也是$\frac{1}{2}$，如此往复．记某同学第$n$天选择$A$类套餐的概率为$P_{n}$．
（1）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择$A$类套餐的人数为$X$，求$X$的分布列并求$E(X)$；
（2）证明数列$\left\{{{P_n}-\frac{2}{5}}\right\}$是等比数列，并求数列$\{P_{n}\}$的通项公式；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活