4．设$f(x)$是定义在$R$上的函数，若$f(x)+x^{2}$是奇函数，$f(x)-x$是偶函数，函数$g(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{f(x),x\in [{0,1}],}\\ {2g({x-1}),x\in ({1,+\infty }),}\end{array}\right.}\right.$，则下列说法正确的个数有$($　　$)$
（1）当$x\in [2$，$3]$时，$g(x)=-2(x-2)(x-3)$；
（2）$g({\frac{2k-1}{2}})={2^{k-3}}({k\in {N_+}})$；
（3）若$g(m)\geqslant 2$，则实数$m$的最小值为$\frac{7}{2}$
（4）若$h(x)=g(x)-k(x-2)$有三个零点，则实数$k=-\frac{1}{6}$．