#2d320ace-9dd5-4575-ab8b-1c9b3a9ecc67简单解答题对数与对数函数函数
对数函数的定义域与值域综合应用
已知函数 f(x)=log2(x−1x+3)。
（1）求函数 f(x) 的定义域；
（2）若 f(x)=1，求满足条件的 x 值；
（3）判断函数 f(x) 在其定义域内的单调性，并说明理由。
解析
（1）要使对数有意义，真数必须大于0，即 x−1x+3>0。
解该分式不等式：分子零点为 x=−3，分母零点为 x=1，两零点将实数轴分为三段：(−∞,−3)、(−3,1)、(1,+∞)。
列表或穿根法分析符号：
- 当 x<−3 时，x+3<0，x−1<0，故分式 >0；
- 当 −3<x<1 时，x+3>0，x−1<0，故分式 <0；
- 当 x>1 时，x+3>0，x−1>0，故分式 >0。
又分母不能为0，故 x=1。综上，定义域为 (−∞,−3)∪(1,+∞)。
（2）由 f(x)=1，得 log2(x−1x+3)=1，
即 x−1x+3=21=2（注意此步隐含真数 >0，后续需检验是否在定义域内）。
解方程：x−1x+3=2，两边同乘 x−1（注意 x=1）：
x+3=2(x−1)⇒x+3=2x−2⇒x=5。
验证：x=5 满足定义域（5>1），且 5−15+3=48=2>0，成立。故解为 x=5。
（3）令 u(x)=x−1x+3，则 f(x)=log2u(x)。由于底数 2>1，log2u 关于 u 单调递增，因此 f(x) 的单调性由 u(x) 在各区间上的单调性决定。
化简：u(x)=x−1x+3=1+x−14（作多项式除法或配凑）。
可见 u(x) 在 (−∞,−3) 和 (1,+∞) 上均为反比例型函数，导数 u′(x)=−(x−1)24<0（对所有 x=1 成立），故 u(x) 在其每个连续区间上严格递减。
又因 log2u 单调递增，复合函数 f(x)=log2(u(x)) 在定义域的每个区间上均严格递减。
具体地：
- 在 (−∞,−3) 上，u(x)>0 且递减 ⇒f(x) 递减；
- 在 (1,+∞) 上，u(x)>0 且递减 ⇒f(x) 递减。
因此，f(x) 在 (−∞,−3) 上单调递减，在 (1,+∞) 上也单调递减（注意：因定义域不连通，不能称在整个定义域上单调递减）。