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#3e2a9ff1-1488-4197-89b2-be3a290e3196简单填空题导数与不等式证明导数及其应用

考点来源：一数《二次函数与不等式》一数《【第2章】【模块2】【第2节】基本不等式的核心运用思想（基础）》一数《【解三角形|常考题型】最值与范围（进阶）》一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》一数《导数与不等式证明！直接求导+变换主元！》

5．（2023春•泉州期末）设偶函数 $f(x)$ 在 $R$ 上的导函数为 $f\prime (x)$ ，当 $x>0$ 时，有 $f(x)>\frac{1-x^{3}f\prime (x)}{4x^{2}}$ ，则下列结论一定正确的是 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：当

x>0

时，有

f(x)>\frac{1-x^{3}f\prime (x)}{4x^{2}}

，即

4x^{2}f(x)-1+x^{3}f\prime (x)>0

，令

g(x)=x^{4}f(x)-\frac{1}{2}x^{2}

，则

g\prime (x)=x[4x^{2}f(x)+x^{3}f\prime (x)-1]>0

，即

g(x)

在

(0,+\infty )

上单调递增，又

f(x)

为偶函数，则

g(-x)=x^{4}f(-x)-\frac{1}{2}x^{2}=g(x)

，即

g(x)

为偶函数，故

g(-2)=g

（2）

>g

（1），即

16f(-2)-2>f(1)-\frac{1}{2}

，即

16f(-2)>f(1)+\frac{3}{2}

，故

A

错误，

C

正确；由

g

（2）

>g

（1），即

16f(2)-2>f(1)-\frac{1}{2}

，即

16f(2)>f(1)+\frac{3}{2}

，

B

错误；而

f(-1)=f

（1），故

16f(2)>f(-1)+\frac{3}{2}

，则

f(-1)+\frac{3}{2}<14f(2)

不一定成立，

D

错误，故选：

C

．

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