23．（2023•重庆模拟）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁$\cdot$查理$\cdot$卡特兰$(1814-1894)$命名．历史上，清代数学家明安图$(1692$年$-1765$年）在其《割圜密率捷法》最早用到"卡特兰数"，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为"明安图数"或"明安图$-$卡特兰数"．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：$a_{n}=a_{0}a_{n-1}+a_{1}a_{n-2}+\dotsb +a_{n-1}a_{0}$且$a_{0}=1$．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在$(0,0)$上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到$(n,n)$，$0\leqslant n$有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为$b_{n}$．
（1）证明$b_{n}$是卡特兰数；
（2）求$b_{n}$的通项公式．