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#593c2f24-6aed-4c9d-94d7-e2dfb80760c3中等解答题导数压轴题常见模型导数及其应用
考点来源：一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》

17．已知函数f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f\prime (x)为f(x)f(x)的导数． （1）求曲线y=f(x)y=f(x)在点A(0A(0，f(0))f(0))处的切线方程； （2）g(x)=x2−2x+a(a∈R)g(x)=x^{2}-2x+a(a\in R)，若对任意x1∈[0x_{1}\in [0，π]\pi ]，均存在x2∈[1x_{2}\in [1，2]2]，使得f(x1)>g(x2)f(x_{1})>g(x_{2})，求实数aa的取值范围．

解析
【解答】解：（1）f′(x)=cos⁡x+xsin⁡x−1f'(x)=\cos x+x\sin x-1，所以f′(0)=0f'(0)=0，f(0)=0f(0)=0， 从而曲线y=f(x)y=f(x)在点A(0A(0，f(0))f(0))处的切线方程为y=0y=0． （2）由已知，转化为f(x)min>g(x)minf(x)_{min}>g(x)_{min}，且g(x)min=gg(x)_{min}=g（1）=a−1=a-1． 设h(x)=f′(x)h(x)=f'(x)，则h(x)=cos⁡x+xsin⁡x−1h(x)=\cos x+x\sin x-1，h′(x)=xcos⁡xh'(x)=x\cos x． 当x∈(0,π2)x\in (0,\frac{\pi }{2})时，h′(x)>0h'(x)>0； 当x∈(π2,π)x\in ({\frac{\pi }{2},\pi })时，h′(x)<0h'(x)<0， 所以h(x)h(x)在(0,π2)(0,\frac{\pi }{2})单调递增，在(π2,π)({\frac{\pi }{2},\pi })单调递减． 又h(0)=0h(0)=0，h(π2)>0h(\frac{\pi }{2})>0，h(π)=−2h(\pi )=-2， 故h(x)h(x)在(0,π)(0,\pi )存在唯一零点． 所以f′(x)f'(x)在(0,π)(0,\pi )存在唯一零点． 设为x0x_{0}，且当x∈(0,x0)x\in (0,x_{0})时，f′(x)>0f'(x)>0； 当x∈(x0x\in (x_{0}，π)\pi )时，f′(x)<0f'(x)<0， 所以f(x)f(x)在(0,x0)(0,x_{0})单调递增，在(x0(x_{0}，π)\pi )单调递减． 又f(0)=0f(0)=0，f(π)=0f(\pi )=0， 所以当x∈[0x\in [0，π]\pi ]时，f(x)min=0f(x)_{min}=0． 所以0>a−10>a-1，即a<1a<1， 因此，aa的取值范围是(−∞,1)(-\infty ,1)．
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