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#5f483a5d-4d0c-40f4-a2e3-aebef6497deb简单填空题导数压轴题常见模型导数及其应用
考点来源：一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》

15．（2023•云南模拟）设函数f(x)=xex+axf(x)=xe^{x}+ax，a>−1a>-1，若存在唯一整数x0x_{0}，使得f(x0)<0f(x_{0})<0，则aa的取值范围是 ____．

解析
【解答】解：由函数f(x)=xex+axf(x)=xe^{x}+ax，a>−1a>-1， 设g(x)=xexg(x)=xe^{x}和y=−axy=-ax，a>−1a>-1 因为存在唯一整数x0x_{0}，使得f(x0)<0f(x_{0})<0， 所以存在唯一的整数x0x_{0}使得g(x0)g(x_{0})在直线y=−axy=-ax的下方，如图所示， 菁优网：http://www.jyeoo.com 因为g′(x)=(x+1)exg\prime (x)=(x+1)e^{x}， 当x<−1x<-1时，g′(x)<0g\prime (x)<0；当x>−1x>-1时，g′(x)>0g\prime (x)>0， 所以g(x)g(x)在(−∞,−1)(-\infty ,-1)上单调递减，在(−1,+∞)(-1,+\infty )单调递增， 当x=−1x=-1时，g(x)g(x)取得极小值，也为最小值g(x)min=g(−1)=−1eg{(x)}_{min}=g(-1)=-\frac{1}{e}， 且当x=0x=0时，g(0)=0g(0)=0，当x=−2x=-2时，g(−2)=−2e2g(-2)=-\frac{2}{{e}^{2}}， 又由直线y=−axy=-ax恒经过原点O(0,0)O(0,0)，斜率为−a-a（其中a>−1)a>-1)， 所以a>g(−1)=−1ea>g(-1)=-\frac{1}{e}且g(−2)=−2e2⩾2ag(-2)=-\frac{2}{{e}^{2}}\geqslant 2a， 解得−1e<a⩽−1e2-\frac{1}{e}<a\leqslant -\frac{1}{{e}^{2}}， 所以实数aa的取值范围是(−1e,−1e2](-\frac{1}{e},-\frac{1}{{e}^{2}}]． 故答案为：(−1e,−1e2](-\frac{1}{e},-\frac{1}{{e}^{2}}]．
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