2024高考数列解答(压轴候选)

设数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$、公差为 $d\in\mathbb{Z}^+$ 的等差数列，共 $10$ 项：$a_1,a_2,\dots,a_{10}$。从中任意删去两项后，将剩余 $8$ 项重新排列（允许改变顺序），若能将其平均分为两组（每组 $4$ 项），且每组内部按某种顺序构成等差数列（公差可不同，但每组内必须严格等差），则称该删法为“可分”。

（1）列出所有满足条件的删去位置对 $(i,j)$（$1\le i<j\le 10$），使得存在某种重排使剩余 $8$ 项可平均分组且每组为等差数列；

（2）对（1）中任一删法，证明其确实“可分”；

（3）设所有删法等可能，求“可分”的概率 $P$，并证明：$\dfrac{3}{10}<P<\dfrac{1}{3}$。