题库网 - 高中数学智能学习平台

#6957c7d9-8fd3-4aae-ad14-fe0bb1887928简单填空题同构与指对同构导数

考点来源：一数《导数与「指对同构」保姆级讲解》一数《BV1VafCB4EL1》

23．（2023•大观区校级三模）已知函数 $f(x)=e^{ax}-2lnx-x^{2}+ax$ ，若 $f(x)>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：

f(x)>0

等价于

e^{ax}+ax>x^{2}+2lnx=e^{2lnx}+2lnx

．令函数

g(x)=e^{x}+x

，则

g\prime (x)=e^{x}+1>0

，故

g(x)

是增函数．所以

e^{ax}+ax>e^{2lnx}+2lnx

等价于

ax>2lnx(x>0)

，即

a>\frac{2lnx}{x}

．令函数

h(x)=\frac{2lnx}{x}

，则

h\prime (x)=\frac{2-2lnx}{x^{2}}

．当

x\in (0,e)

时，

h\prime (x)>0

，

h(x)

单调递增：当

x\in (e,+\infty )

时，

h(x)<0

，

h(x)

单调递减．所以

h(x)_{max}=h(e)=\frac{2}{e}

．故实数

a

的取值范围为

(\frac{2}{e},+\infty )

．故选：

B

．

思路填空练习 →上传我的解题过程