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#79602756-0e8f-4cca-8678-a562cd393200基础填空题导数与切线导数

考点来源：一数《【导数热门】零点与找点！姥姥级串讲！》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《【高考最后十课】导数大题篇！2025高考冲刺！》一数《【导数必学】求导后无从下手？三个思路轻松搞定！》一数《BV1mcPMzbEvK》

14．（2022秋•张家口期末）已知直线 $l:y=kx+b$ 是函数 $f(x)=ax^{2}(a>0)$ 与函数 $g(x)=e^{x}$ 的公切线，若 $(1$ ， $f$ （1） $)$ 是直线 $l$ 与函数 $f(x)$ 相切的切点，则 $b=$ ____．

解析

【解答】解：

\because f(x)=ax^{2}(a>0)

，

\therefore f\prime (x)=2ax

，

g\prime (x)=e^{x}

，

\because (1

，

f

（1）

)

是直线

l

与函数

f(x)

相切的切点，

\therefore k=f\prime

（1）

=2a

，

f

（1）

=a

，

\therefore a=2a+b

，

\therefore b=-a

，即直线

l

的方程为

y=2ax-a

，

\because g(x)=e^{x}

，

\therefore g\prime (x)=e^{x}

，设

y=2ax-a

与

g(x)=e^{x}

的切点坐标为

(x_{0}

，

y_{0})

，

\therefore k={e}^{{x}_{0}}

，

y_{0}={e}^{{x}_{0}}

\therefore

切线方程为

y-{e}^{{x}_{0}}=k(x-x_{0})

，即

y={e}^{{x}_{0}}x-{e}^{{x}_{0}}x_{0}-{e}^{{x}_{0}}

，

\therefore 2a={e}^{{x}_{0}}

，

-a=-{e}^{{x}_{0}}x_{0}+{e}^{{x}_{0}}

，解得

x_{0}=\frac{3}{2}

，

\therefore 2a={e}^{\frac{3}{2}}

，

\therefore b=-\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}}

．故答案为：

-\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}}

．

同知识点相似题

基础fill_compute19．（2023春•重庆期末）已知直线

l:y=kx+b

f(x)=ax^{2}(a>0)

g(x)=e^{x}

的公切线，若

(1,f(1))

l

f(x)

相切的切点，则

a=

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