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#82bc642f-0e0c-406a-a927-5142d6949582简单填空题同构与指对同构导数

考点来源：一数《导数与「指对同构」保姆级讲解》一数《BV1VafCB4EL1》

19．（2023•吉林模拟）已知不等式 $2\lambda e^{2x}+ln\lambda \geqslant lnx$ 在 $x\in (0,+\infty )$ 上恒成立，则实数 $\lambda$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：由

2\lambda e^{2x}+ln\lambda \geqslant lnx

得

2\lambda {e^{2x}}\geqslant lnx-ln\lambda =ln\frac{x}{\lambda }

，即

2x{e^{2x}}\geqslant \frac{x}{\lambda }ln\frac{x}{\lambda }

，令

f(t)=te^{t}

，

t\in (0,+\infty )

，则

f'(t)=(t+1)e^{t}>0

，所以

f(t)=te^{t}

在

(0,+\infty )

上单调递增，而

2x{e^{2x}}\geqslant \frac{x}{\lambda }ln\frac{x}{\lambda }=ln\frac{x}{\lambda }{e^{ln\frac{x}{\lambda }}}

等价于

f({2x})\geqslant f({ln\frac{x}{\lambda }})

，

\therefore<span>2x≥ ln(x)/( )

，即

≥ /xe^2x

，令

g(x)=/xe^2x

，

x∈ (0,+∞ )

，则

g'(x)=/1-2xe^2x

，所以

g(x)

在

x∈ (0,(1)/(2))

时

g'(x)>0

，为增函数；在在

x∈ ((1)/(2),+∞ )

时

g'(x)<0

，为减函数，所以

g(x)

最大值为

g((1)/(2))=(1)/(2e)

，

</span>\lambda \geqslant \frac{1}{2e}

．故选：

C

．

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