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#8b0427be-47c6-4865-991c-ff1ba7da27d9基础解答题函数解析式求法函数
考点来源：一数《函数基础！一课搞定！》

21．若函数f(x)在x∈ [a，b]时，函数值y的取值区间恰为[{(1)/(b),(1)/(a)}]，则称[a，

21．若函数f(x)f(x)在x∈[ax\in [a，b]b]时，函数值yy的取值区间恰为[1b,1a][{\frac{1}{b},\frac{1}{a}}]，则称[a[a，b]b]为f(x)f(x)的一个"倒域区间"．定义在[−2[-2，2]2]上的奇函数g(x)g(x)，当x∈[0x\in [0，2]2]时，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^{2}+2x． （1）求g(x)g(x)在[−2[-2，0)0)上的解析式； （2）求g(x)g(x)的"倒域区间"．

解析
我们来**完整、严谨、分步推导**第（2）问，即求函数 g(x)g(x) 在定义域 [−2,2][-2, 2] 上的所有“倒域区间” [a,b][a, b]，使得 > 函数值的取值区间 **恰为** [1b, 1a]\left[ \dfrac{1}{b},\ \dfrac{1}{a} \right]。 --- ### 【回顾已知】 由（1）得： g(x) = x^2 + 2x, & -2 ≤ x < 0 ； -x^2 + 2x, & 0 ≤ x ≤ 2 且 g(x)g(x) 是定义在 [−2,2][-2, 2] 上的**奇函数**，故 g(0)=0g(0) = 0，与两段表达式在 x=0x=0 处一致（验证：左极限 02+2⋅0=00^2 + 2· 0 = 0，右极限 −02+2⋅0=0-0^2 + 2· 0 = 0），所以可补充为： g(x) = x^2 + 2x, & -2 ≤ x ≤ 0 ； -x^2 + 2x, & 0 ≤ x ≤ 2 （注意：在 x=0x=0 处两段都成立，无矛盾） 进一步化简： - 当 x∈[−2,0]x ∈ [-2, 0]：g(x)=x2+2x=(x+1)2−1g(x) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1，开口向上，顶点在 x=−1x = -1，最小值 g(−1)=−1g(-1) = -1；端点值： g(−2)=(−2)2+2(−2)=4−4=0g(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0， g(0)=0g(0) = 0。 所以在 [−2,0][-2, 0] 上，g(x)∈[−1, 0]g(x) ∈ [-1,\ 0]，且在 [−2,−1][-2, -1] 单调递减，在 [−1,0][-1, 0] 单调递增。 - 当 x∈[0,2]x ∈ [0, 2]：g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1g(x) = -x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1，开口向下，顶点在 x=1x = 1，最大值 g(1)=1g(1) = 1；端点值： g(0)=0g(0) = 0，g(2)=−4+4=0g(2) = -4 + 4 = 0。 所以在 [0,2][0, 2] 上，g(x)∈[0, 1]g(x) ∈ [0,\ 1]，且在 [0,1][0, 1] 单调递增，在 [1,2][1, 2] 单调递减。 综上，整个函数图像关于原点对称（奇函数），值域为 [−1, 1][-1,\ 1]。 --- ### 【定义回顾】“倒域区间” [a,b][a,b] 满足： - a<ba < b，且 a,b∈[−2,2]a,b ∈ [-2,2]，a≠0a ≠ 0，b≠0b ≠ 0（否则 (1)/(a)(1)/(a) 或 (1)/(b)(1)/(b) 无定义）； - g(x)g(x) 在 [a,b][a,b] 上的**值域**（即所有函数值构成的闭区间）**恰好等于** [ (1)/(b),\ (1)/(a) ]； - 注意：由于 a<ba < b，要使 (1)/(b)<(1)/(a)(1)/(b) < (1)/(a)，必须有 ab>0ab > 0，即 a,ba,b **同号**。 所以只需考虑两类情形： - **情形Ⅰ**：0<a<b≤20 < a < b ≤ 2（正区间）； - **情形Ⅱ**：−2≤a<b<0-2 ≤ a < b < 0（负区间）。 （注：不能跨零，因若 a<0<ba < 0 < b，则 ab<0⇒(1)/(b)>(1)/(a)ab < 0 \Rightarrow (1)/(b) > (1)/(a)，与区间下标顺序矛盾；且 g(x)g(x) 在含 0 的区间上值域包含 0，而 [(1)/(b),(1)/(a)] 若 a<0<ba<0<b 则 (1)/(b)>0>(1)/(a)(1)/(b)>0>(1)/(a)，即该区间为 [正, 负][\text{正},\ \text{负}]，不合法——区间要求左端点 ≤ 右端点。故**排除跨零情况**。） --- ## （2）分情形讨论求倒域区间 --- ### ✅ 情形Ⅰ：0<a<b≤20 < a < b ≤ 2 此时 x∈[a,b]⊂eq[0,2]x ∈ [a,b] ⊂eq [0,2]，故 g(x)=−x2+2xg(x) = -x^2 + 2x。 记 g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1g(x) = -x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1，在 [0,2][0,2] 上是先增后减，对称轴 x=1x = 1，最大值 g(1)=1g(1) = 1。 #### 子情形Ⅰ₁：[a,b]⊂eq[0,1][a,b] ⊂eq [0,1]，即 0<a<b≤10 < a < b ≤ 1 则 g(x)g(x) 在 [a,b][a,b] 上**单调递增**（因在 [0,1][0,1] 上递增），故值域为： [g(a), g(b)]=[−a2+2a, −b2+2b][g(a),\ g(b)] = \left[ -a^2 + 2a,\ -b^2 + 2b \right] 依题意，应等于 [ (1)/(b),\ (1)/(a) ]，即： −a2+2a=(1)/(b)（最小值对应左端点）；−b2+2b=(1)/(a)（最大值对应右端点）-a^2 + 2a = (1)/(b) （最小值对应左端点） ； -b^2 + 2b = (1)/(a) （最大值对应右端点） 1 注意：由于 a<b≤1a < b ≤ 1，有 (1)/(b)<(1)/(a)(1)/(b) < (1)/(a)，且 g(a)<g(b)g(a) < g(b)，匹配。 将方程组 (1) 视为关于 a,ba,b 的对称系统。尝试设 a=ba = b？不行，因要求 a<ba < b；或猜测是否有简单解，如 a=1a = 1？但 a<b≤1a < b ≤ 1，故 a<1a < 1，不能取 1。 换思路：观察函数 h(x)=−x2+2x=x(2−x)h(x) = -x^2 + 2x = x(2 - x)，在 (0,1](0,1] 上 h(x)∈(0,1]h(x) ∈ (0,1]，而 (1)/(x)≥1(1)/(x) ≥ 1，故 (1)/(b)≥1(1)/(b) ≥ 1，但 g(a)=−a2+2a<1g(a) = -a^2 + 2a < 1（因 a<1a < 1，且 h(x)h(x) 在 (0,1)(0,1) 上 <1< 1），而 (1)/(b)>1(1)/(b) > 1（因 b<1⇒(1)/(b)>1b < 1 \Rightarrow (1)/(b) > 1），矛盾！ → 所以 **[a,b]⊂eq[0,1][a,b] ⊂eq [0,1] 不可能**。 #### 子情形Ⅰ₂：[a,b]⊂eq[1,2][a,b] ⊂eq [1,2]，即 1≤a<b≤21 ≤ a < b ≤ 2 此时 g(x)=−x2+2xg(x) = -x^2 + 2x 在 [1,2][1,2] 上**单调递减**，故值域为： [g(b), g(a)]=[−b2+2b, −a2+2a][g(b),\ g(a)] = \left[ -b^2 + 2b,\ -a^2 + 2a \right] （注意：因递减，最小值在右端点 x=bx=b，最大值在左端点 x=ax=a） 依定义，值域应为 [ (1)/(b),\ (1)/(a) ]，故： $$ -b^2 + 2b = (1)/(b) \quad \text{（最小值 = 左端点）} \\ -a^2 + 2a = (1)/(a) \quad \text{（最大值 = 右端点）}
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