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#9157fc0f-fd5e-4635-9fca-dc3c4f441687简单解答题函数模型及其应用函数

13. 为进一步奏响"绿水青山就是金山银山"的主旋律，某旅游风景区以"绿水青山"为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价yy（单位：元）与上市时间xx（单位：天）的数据如表： ------------------------------------------------------------ ----------------- ----------------- ----------------- 上市时间xx（天)) 2 6 20 市场价yy（元)) 102 78 120 ------------------------------------------------------------ ----------------- ----------------- ----------------- （1）根据如表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的

解析
我们来**完整补全并规范书写**这道题的解答过程，严格遵循题目要求：分步骤、有推导、不省略关键环节、用 LaTeX 格式（`......`）写公式，最终给出明确答案。 --- ### **题目重述：** 某旅游纪念章市场价 yy（元）与上市时间 xx（天）的数据如下： | 上市时间 xx（天） | 2 | 6 | 20 | |------------------------|-----|-----|-----| | 市场价 yy（元） | 102 | 78 | 120 | （1）从下列函数中选择一个最恰当的函数模型描述 yy 与 xx 的关系： ① y=ax+b (a≠0)y = ax + b \ (a \ne 0)； ② y=ax2+bx+c (a≠0)y = ax^2 + bx + c \ (a \ne 0)； ③ y=alog⁡bx (a≠0, b>0, b≠1)y = a \log_b x \ (a \ne 0,\, b > 0,\, b \ne 1)； ④ y=ax+b (a≠0)y = \dfrac{a}{x} + b \ (a \ne 0)。 （2）求出所选函数的解析式，并求出纪念章市场价最低时的上市时间及最低价格； （3）记 f(x)=12x2−10x+120f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 10x + 120（即（2）中所得函数），定义函数 g(x)=f(x)x−10,x>10.g(x) = \frac{f(x)}{x - 10}, \quad x > 10. 若存在 x∈(10,+∞)x ∈ (10, +∞)，使得不等式 f(x)x−10−k≤0\frac{f(x)}{x - 10} - k \leq 0 成立，求实数 kk 的取值范围。 --- ## 【完整解答】 ### **（1）选择函数模型** 观察表格数据： - 当 x=2x = 2 时，y=102y = 102； - 当 x=6x = 6 时，y=78y = 78（减小了 2424）； - 当 x=20x = 20 时，y=120y = 120（比 x=6x = 6 时增大了 4242，且高于初始值 102102）。 可见：随着 xx 增大，yy **先减小后增大**，呈现“U”型变化趋势。 分析各选项函数的单调性： - ① y=ax+by = ax + b 是**一次函数**，在定义域内**严格单调**（增或减），无法刻画“先减后增”，**排除**； - ③ y=alog⁡bxy = a \log_b x 在 x>0x > 0 上是**严格单调函数**（a>0a > 0 时增，a<0a < 0 时减），且定义域为 (0,+∞)(0, +∞)，但无法出现极小值点，**排除**； - ④ y=(a)/(x)+by = (a)/(x) + b 在 x>0x > 0 上也是**严格单调函数**（a>0a > 0 时减，a<0a < 0 时增），无极值点，**排除**； - ② y=ax2+bx+c (a≠0)y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) 是**二次函数**，图象为抛物线，当 a>0a > 0 时开口向上，有**唯一最小值点**，可完美拟合“先减后增”的趋势。 ✅ 故应选择 **②**：y=ax2+bx+c (a≠0)y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0)。 --- ### **（2）确定二次函数解析式，并求最小值** 将三组数据代入 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c： - 当 x=2x = 2，y=102y = 102： a(2)2+b(2)+c=4a+2b+c=102(1)a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 102 \tag{1} - 当 x=6x = 6，y=78y = 78： a(6)2+b(6)+c=36a+6b+c=78(2)a(6)^2 + b(6) + c = 36a + 6b + c = 78 \tag{2} - 当 x=20x = 20，y=120y = 120： a(20)2+b(20)+c=400a+20b+c=120(3)a(20)^2 + b(20) + c = 400a + 20b + c = 120 \tag{3} 联立方程组： 4a+2b+c=102①；36a+6b+c=78②；400a+20b+c=120③4a + 2b + c = 102 ① ； 36a + 6b + c = 78 ② ； 400a + 20b + c = 120 ③ **消元求解：** ② − ① 得： (36a−4a)+(6b−2b)+(c−c)=78−102⇒32a+4b=−24(4)(36a - 4a) + (6b - 2b) + (c - c) = 78 - 102 \Rightarrow 32a + 4b = -24 \tag{4} ③ − ② 得： (400a−36a)+(20b−6b)+(c−c)=120−78⇒364a+14b=42(5)(400a - 36a) + (20b - 6b) + (c - c) = 120 - 78 \Rightarrow 364a + 14b = 42 \tag{5} 化简（4）：两边同除以 4： 8a+b=−6⇒b=−6−8a(6)8a + b = -6 \Rightarrow b = -6 - 8a \tag{6} 代入（5）： 364a+14(−6−8a)=42364a−84−112a=42(364−112)a=42+84252a=126⇒a=126252=12364a + 14(-6 - 8a) = 42 \\ 364a - 84 - 112a = 42 \\ (364 - 112)a = 42 + 84 \\ 252a = 126 \Rightarrow a = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} 代入（6）得： b=−6−8⋅12=−6−4=−10b = -6 - 8 \cdot \frac{1}{2} = -6 - 4 = -10 代入①求 cc： 4⋅12+2⋅(−10)+c=1022−20+c=102⇒c=102+18=1204 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (-10) + c = 102 \\ 2 - 20 + c = 102 \Rightarrow c = 102 + 18 = 120 ✅ 解得： a=12,b=−10,c=120a = \frac{1}{2}, \quad b = -10, \quad c = 120 故所求函数为： y=12x2−10x+120y = \frac{1}{2}x^2 - 10x + 120 配方整理： y=12(x2−20x)+120=12[(x−10)2−100]+120=12(x−10)2−50+120=12(x−10)2+70y = \frac{1}{2}(x^2 - 20x) + 120 = \frac{1}{2}\left[(x - 10)^2 - 100\right] + 120 = \frac{1}{2}(x - 10)^2 - 50 + 120 = \frac{1}{2}(x - 10)^2 + 70 由于二次项系数 (1)/(2)>0(1)/(2) > 0，抛物线开口向上，顶点为最小值点。 顶点横坐标：x=10x = 10，纵坐标：ymin⁡=70y_{\min} = 70 ✅ 答：纪念章市场价最低出现在上市第 **10 天**，最低价格为 **70 元**。 --- ### **（3）求实数 kk 的取值范围，使得存在 x∈(10,+∞)x ∈ (10, +∞)，满足** f(x)x−10−k≤0\frac{f(x)}{x - 10} - k \le 0 即： ∃ x>10,f(x)x−10≤k\exists\, x > 10,\quad \frac{f(x)}{x - 10} \le k 等价于：**kk 不小于函数 g(x)=(f(x))/(x−10)g(x) = (f(x))/(x - 10) 在 (10,+∞)(10, +∞) 上的下确界（即最小值或下确界）**。 更准确地说：该不等式“存在成立”，即要求 $$ k ≥ \inf

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