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#93b1108f-7cd7-4f1a-9dfe-a57f2c51f3f9基础填空题导数与切线导数

3．（2023•徐汇区校级一模）若直线 $y=kx+b$ 是曲线 $f(x)=e^{x-2}$ 与 $g(x)=e^{x+2022}-2022$ 的公切线，则 $k=($ 　　 $)$

解析

【解答】解：设直线

y=kx+b

与

f(x)

的图象相切于点

P_{1}(x_{1}

，

y_{1})

，与

g(x)

的图象相切于点

P_{2}(x_{2}

，

y_{2})

，又

f\prime (x)=e^{x-2}

，

g\prime (x)=e^{x+2022}

，且

{y}_{1}={e}^{{x}_{1}-2}

，

{y}_{2}={e}^{{x}_{2}+2022}-2022

．曲线

y=f(x)

在点

P_{1}(x_{1}

，

y_{1})

处的切线方程为

y-{e}^{{x}_{1}-2}={e}^{{x}_{1}-2}(x-{x}_{1})

，曲线

y=g(x)

在点

P_{2}(x_{2}

，

y_{2})

处的切线方程为

y-{e}^{{x}_{2}+2022}+2022={e}^{{x}_{2}+2022}(x-{x}_{2})

．故left{{l}{{e}^{{x}_{1}-2}={e}^{{x}_{2}+2022}}\\ {{e}^{{x}_{1}-2}(1-{x}_{1})={e}^{{x}_{2}+2022}(1-{x}_{2})-2022}right.，解得

x_{1}-x_{2}=2024

，故

k=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{e}^{{x}_{1}-2}-{e}^{{x}_{2}+2022}+2022}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2022}{2024}=\frac{1011}{1012}

．故选：

A

．

同知识点相似题

l:y=kx+b

f(x)=ax^{2}(a>0)

g(x)=e^{x}

(1,f(1))

l

f(x)

a=