4. 深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团．
（1）现社团招新，需对报名者进行"点球测试"来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．某同学进行"点球测试"，依据平时的训练数据，获得其单次点球踢进的概率为$\frac{3}{5}$，该同学每次点球是否踢进相互独立．他在测试中所踢的点球次数记为$X$，求$X$的分布列及数学期望；
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第$n$次触球者是甲的概率记为$P_{n}$，即$P_{1}=1$．
$(i)$证明：数列$\{P_n-\frac{1}{3}\}$为等比数列：
$(ii)$判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．