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#9f40ec92-aa62-4b81-a672-5271c4632ca7简单填空题导数压轴题常见模型导数及其应用

21．（2023•河南模拟）已知函数 $f(x)=(2x-3)e^{2}-(ax+1)e^{x}+2ae^{x}(a>0,a\in R)$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得 $f(x_{0})>0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 ____．

解析

【解答】解：由

f(x)=(2x-3)e^{2}-(ax+1)e^{x}+2ae^{x}>0

，

(a>0)

，化为

a(x-2)+1<\frac{(2x-3){e}^{2}}{{e}^{x}}

，分别令

g(x)=\frac{(2x-3){e}^{2}}{{e}^{x}}

，

h(x)=a(x-2)+1

，则

g

（2）

=h

（2）

=1

，

g\prime (x)=\frac{(5-2x){e}^{2}}{{e}^{x}}

，可得函数

g(x)

在

(-\infty ,\frac{5}{2})

上单调递增，在

(\frac{5}{2}

，

+\infty )

上单调递减．由存在唯一的整数

x_{0}

，使得

f(x_{0})>0

，

\therefore

left{{l}{\;h(0)≥ g(0)}\\ {g(1)>h(1)}right.，即left{{l}{1-2a≥ -3{e}^{2}}\\ {-e>1-a}right.，解得

1+e<a\leqslant \frac{1+3{e}^{2}}{2}

，

\therefore

实数

a

的取值范围是

(1+e

，

\frac{1+3{e}^{2}}{2}]

．故答案为：

(1+e

，

\frac{1+3{e}^{2}}{2}]

．