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#aa363b18-9507-40f7-8aae-e76a49120375中上解答题对数与对数函数函数
考点来源：一数《对数运算 27分钟入门到精通》

对数函数与方程综合

已知函数 f(x)=log⁡2(x2−2x+a)f(x) = \log_2(x^2 - 2x + a)，其中 a∈Ra \in \mathbb{R}。 （1）若函数 f(x)f(x) 的定义域为 (−∞,0)∪(2,+∞)(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)，求实数 aa 的值； （2）在（1）的条件下，设 g(x)=f(x)−log⁡2(x)g(x) = f(x) - \log_2(x)，求不等式 g(x)>1g(x) > 1 的解集。

解析
（1）由题意，f(x)=log⁡2(x2−2x+a)f(x) = \log_2(x^2 - 2x + a) 的定义域即为使真数大于零的 xx 的集合： x2−2x+a>0.x^2 - 2x + a > 0. 该二次函数开口向上，其解集为 (−∞,0)∪(2,+∞)(-∞, 0) ∪ (2, +∞)，说明该不等式的解集是两个开区间，且边界点 x=0x = 0 和 x=2x = 2 恰为其对应方程 x2−2x+a=0x^2 - 2x + a = 0 的两个实根（因解集在根外，且无中间区间，故两根为不等实根，且二次式在根外为正）。 因此，x=0x = 0 和 x=2x = 2 是方程 x2−2x+a=0x^2 - 2x + a = 0 的根。代入验证： - 当 x=0x = 0：02−2⋅0+a=a=00^2 - 2· 0 + a = a = 0； - 当 x=2x = 2：22−2⋅2+a=4−4+a=a=02^2 - 2· 2 + a = 4 - 4 + a = a = 0。 故 a=0a = 0。 （也可由韦达定理：两根和为 0+2=20 + 2 = 2，而二次式 x2−2x+ax^2 - 2x + a 的根和为 22，符合；根积为 0×2=0=a0 × 2 = 0 = a，同样得 a=0a = 0。） 验证：当 a=0a = 0 时，真数为 x2−2x=x(x−2)x^2 - 2x = x(x - 2)，其图像为开口向上的抛物线，零点为 x=0x = 0 和 x=2x = 2，故 x(x−2)>0x(x - 2) > 0 的解集确为 (−∞,0)∪(2,+∞)(-∞, 0) ∪ (2, +∞)。因此 a=0a = 0。 （2）由（1），a=0a = 0，故 f(x)=log⁡2(x2−2x)=log⁡2[x(x−2)]f(x) = \log_2(x^2 - 2x) = \log_2[x(x - 2)]，定义域为 (−∞,0)∪(2,+∞)(-∞, 0) ∪ (2, +∞)。 则 g(x)=f(x)−log⁡2x=log⁡2[x(x−2)]−log⁡2x.g(x) = f(x) - \log_2 x = \log_2[x(x - 2)] - \log_2 x. 注意：此式仅在 f(x)f(x) 与 log⁡2x\log_2 x 同时有定义的公共定义域内有意义。log⁡2x\log_2 x 要求 x>0x > 0，而 f(x)f(x) 要求 x<0x < 0 或 x>2x > 2，故交集为 x>2x > 2。 因此，在 x>2x > 2 上， g(x)=log⁡2[x(x−2)]−log⁡2x=log⁡2(x(x−2)x)=log⁡2(x−2),(x>2).g(x) = \log_2[x(x - 2)] - \log_2 x = \log_2\left(\frac{x(x - 2)}{x}\right) = \log_2(x - 2),\quad (x > 2). 解不等式 g(x)>1g(x) > 1，即 log⁡2(x−2)>1.\log_2(x - 2) > 1. 由于底数 2>12 > 1，对数函数单调递增，故 x−2>21=2⇒x>4.x - 2 > 2^1 = 2 \quad \Rightarrow \quad x > 4. 又需满足定义域 x>2x > 2，故最终解集为 (4,+∞)(4, +∞)。 综上： （1）a=0a = 0； （2）不等式 g(x)>1g(x) > 1 的解集为 (4,+∞)(4, +∞)。

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