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#ae44a264-da59-4e4f-943b-ab40cd45eb8e中上填空题零点与函数方程函数

2024高考函数零点问题/参数讨论/函数性质综合/函数性质综合(选填)

15. 已知函数 $f(x) = e^x - ax^2$ ，其中 $a \in \mathbb{R}$ ．若 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围为____．

解析

若

a\le 0

，则

e^x-ax^2>0

，无零点。若

a>0

，零点方程等价于

a=\frac{e^x}{x^2}

。当

x<0

时，

\frac{e^x}{x^2}

从

0

单调增至

+\infty

，总有 1 个负零点；当

x>0

时，该函数在

x=2

处取最小值

\frac{e^2}{4}

。要总零点只有 1 个，正半轴不能再产生零点，故

0<a<\frac{e^2}{4}

。