椭圆综合大题（求方程+定值证明）

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$，离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）$A(-2,0)$、$B(2,0)$ 为椭圆左右顶点，$P$ 为椭圆上异于 $A,B$ 的点，直线 $PA$ 与 $PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证 $k_1k_2$ 为定值。