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#c3e9cb0a-3df1-4ab5-b3de-9dd786748e6f简单解答题集合间的基本关系集合与常用逻辑用语

集合包含关系的判定与参数求解

已知集合 A={x∈R∣x2−4x+3≤0}A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 \leq 0\}，集合 B={x∈R∣x2−(a+1)x+a≤0}B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - (a+1)x + a \leq 0\}，其中 a∈Ra \in \mathbb{R}。 （1）求集合 AA； （2）若 A⊆BA \subseteq B，求实数 aa 的取值范围。

解析
（1）解不等式 x2−4x+3≤0x^2 - 4x + 3 \leq 0： 因式分解得 (x−1)(x−3)≤0(x-1)(x-3) \leq 0， 由一元二次不等式解法（开口向上，两根之间取非正），得 1≤x≤31 \leq x \leq 3， 故 A=[1,3]A = [1, 3]。 （2）先分析集合 BB： 不等式 x2−(a+1)x+a≤0x^2 - (a+1)x + a \leq 0 的判别式为 Δ=(a+1)2−4a=a2+2a+1−4a=a2−2a+1=(a−1)2≥0,\Delta = (a+1)^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 \geq 0, 所以该二次函数恒有实根，且两根为： x=(a+1)±(a−1)22=(a+1)±∣a−1∣2.x = \frac{(a+1) \pm \sqrt{(a-1)^2}}{2} = \frac{(a+1) \pm |a-1|}{2}. 分情况讨论： ① 当 a≥1a ≥ 1 时，∣a−1∣=a−1|a-1| = a-1，则 x1=(a+1)−(a−1)2=22=1,x2=(a+1)+(a−1)2=2a2=a.x_1 = \frac{(a+1) - (a-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{(a+1) + (a-1)}{2} = \frac{2a}{2} = a. 因二次项系数为 1>01 > 0，不等式 ≤0≤ 0 的解集为两根之间（含端点），故 B=[1,a]B = [1, a]（注意：需保证 1≤a1 ≤ a，此时成立）。 ② 当 a<1a < 1 时，∣a−1∣=1−a|a-1| = 1-a，则 x1=(a+1)−(1−a)2=2a2=a,x2=(a+1)+(1−a)2=22=1.x_1 = \frac{(a+1) - (1-a)}{2} = \frac{2a}{2} = a,\quad x_2 = \frac{(a+1) + (1-a)}{2} = \frac{2}{2} = 1. 此时 a<1a < 1，故两根为 aa 和 11，且 a<1a < 1，因此解集为 [a,1][a, 1]。 综上， B = [a, 1], & a < 1, ； [1, a], & a ≥ 1. 又已知 A=[1,3]A = [1, 3]，要求 A⊂eqBA ⊂eq B。 - 若 a<1a < 1，则 B=[a,1]B = [a, 1]，其最大值为 11，而 AA 含 x=3>1x=3 > 1，故不可能满足 A⊂eqBA ⊂eq B，舍去。 - 若 a≥1a ≥ 1，则 B=[1,a]B = [1, a]，要使 [1,3]⊂eq[1,a][1,3] ⊂eq [1,a]，需满足右端点覆盖：a≥3a ≥ 3。 验证：当 a=3a = 3 时，B=[1,3]=AB = [1,3] = A，满足 A⊂eqBA ⊂eq B；当 a>3a > 3，如 a=4a=4，B=[1,4]⊇[1,3]B=[1,4] \supseteq [1,3]，亦满足。 因此，实数 aa 的取值范围为 [3,+∞)[3, +∞)。 答：（1）A=[1,3]A = [1, 3]；（2）a∈[3,+∞)a ∈ [3, +∞)。

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