指数函数的单调性与方程解的个数

已知函数 $f(x) = a^{x} - x - 2$，其中 $a > 0$ 且 $a \ne 1$。

（1）当 $a = \frac{1}{2}$ 时，判断函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的单调性，并求其零点个数；

（2）若关于 $x$ 的方程 $f(x) = 0$ 恰有两个不同的实数解，求实数 $a$ 的取值范围。