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#cc8b3d7b-7596-4698-9e37-c41a8ba28689简单填空题同构与指对同构导数

考点来源：一数《导数与「指对同构」保姆级讲解》一数《BV1VafCB4EL1》

22．设 $k>0$ ，若存在正实数 $x$ ，使得不等式 $\log _{2}x-k\centerdot 2^{kx}\geqslant 0$ 成立，则 $k$ 的最大值为 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：不等式

\log _{2}x-k\centerdot 2^{kx}\geqslant 0

，即为

\frac{1}{k}\log _{2}x\geqslant 2^{kx}

，即有

{\log }_{{2}^{k}}(x)\geqslant (2^{k})^{x}

，可令

2^{k}=a

，则

\log _{a}x\geqslant a^{x}

成立，由

y=a^{x}

和

y=\log _{a}x

互为反函数，可得图象关于直线

y=x

对称，可得

x=a^{x}=\log _{a}x

有解，则

lnx=xlna

，即

lna=\frac{lnx}{x}

，可得

y=\frac{lnx}{x}

，导数为

y\prime =\frac{1-lnx}{{x}^{2}}

，可得

x>e

时，函数

y

递减，

0<x<e

时，函数

y

递增，则

x=e

时，

y=\frac{lnx}{x}

取得最大值

\frac{1}{e}

，可得即有

lna\leqslant \frac{1}{e}

，可得

k\leqslant \frac{lo{g}_{2}e}{e}

，即

k

的最大值为

\frac{lo{g}_{2}e}{e}

．故选：

A

．

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