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#dd841fd8-f77d-40c1-bc49-1b47f2e9415b中上解答题函数的奇偶性函数
考点来源：一数《高中函数-平移伸缩对称周期 性质总结大全！》一数《二次函数与不等式》一数《【第4章】【模块3】【第2节】 三角函数图象的变换（常规）》一数《【模块二】3 简单的比较指、对数大小问题（偏基础版）》一数《【模块1】【第1节】函数概念（偏基础版）》

利用奇偶性求参数及函数解析式

已知函数 f(x)=ax2+bx+cx2+1f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x^2 + 1} 的定义域为 R\mathbb{R}，且满足：f(x)f(x) 是偶函数，f(1)=2f(1) = 2，f(−2)=−1f(-2) = -1。\n（1）求实数 a,b,ca, b, c 的值；\n（2）判断函数 g(x)=f(x)−xg(x) = f(x) - x 的奇偶性，并说明理由。

解析
（1）由于 f(x)f(x) 是偶函数，对任意 x∈Rx \in \mathbb{R}，有 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)。\n计算：\nf(−x)=a(−x)2+b(−x)+c(−x)2+1=ax2−bx+cx2+1.f(-x) = \frac{a(-x)^2 + b(-x) + c}{(-x)^2 + 1} = \frac{ax^2 - bx + c}{x^2 + 1}.\n而 f(x)=(ax2+bx+c)/(x2+1)f(x) = (ax^2 + bx + c)/(x^2 + 1)，故由 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) 得：\nax2−bx+cx2+1=ax2+bx+cx2+1,∀x∈R.\frac{ax^2 - bx + c}{x^2 + 1} = \frac{ax^2 + bx + c}{x^2 + 1},\quad \forall x \in \mathbb{R}.\n分母恒正，可去分母，得：\nax2−bx+c=ax2+bx+c⇒−bx=bx⇒2bx=0,∀x∈R.ax^2 - bx + c = ax^2 + bx + c \quad \Rightarrow \quad -bx = bx \quad \Rightarrow \quad 2bx = 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}.\n因此 b=0b = 0。\n\n代入 b=0b = 0，得 f(x)=(ax2+c)/(x2+1)f(x) = (ax^2 + c)/(x^2 + 1)。\n由条件 f(1)=2f(1) = 2：\nf(1)=a⋅12+c12+1=a+c2=2⇒a+c=4.(1)f(1) = \frac{a \cdot 1^2 + c}{1^2 + 1} = \frac{a + c}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad a + c = 4. \tag{1}\n由 f(−2)=−1f(-2) = -1，注意 ff 为偶函数，故 f(−2)=f(2)f(-2) = f(2)，即：\nf(2)=a⋅4+c4+1=4a+c5=−1⇒4a+c=−5.(2)f(2) = \frac{a \cdot 4 + c}{4 + 1} = \frac{4a + c}{5} = -1 \quad \Rightarrow \quad 4a + c = -5. \tag{2}\n联立 (1)(2)：\na+c=4,；4a+c=−5,a + c = 4, ； 4a + c = -5, 相减得 3a = -9 a = -3, 代入得 c = 7.\n综上，a=−3a = -3, b=0b = 0, c=7c = 7。\n\n（2）由（1）知 f(x)=(−3x2+7)/(x2+1)f(x) = (-3x^2 + 7)/(x^2 + 1)，故\ng(x)=f(x)−x=−3x2+7x2+1−x.g(x) = f(x) - x = \frac{-3x^2 + 7}{x^2 + 1} - x.\n计算 g(−x)g(-x)：\ng(−x)=f(−x)−(−x)=f(x)+x(因 f 为偶函数)=(−3x2+7x2+1)+x.g(-x) = f(-x) - (-x) = f(x) + x \quad (\text{因 } f \text{ 为偶函数}) = \left( \frac{-3x^2 + 7}{x^2 + 1} \right) + x.\n而 -g(x) = -( (-3x^2 + 7)/(x^2 + 1) - x ) = -(-3x^2 + 7)/(x^2 + 1) + x = (3x^2 - 7)/(x^2 + 1) + x.\n显然 g(−x)≠g(x)g(-x) ≠ g(x)（例如 g(1)=(4)/(2)−1=1g(1) = (4)/(2) - 1 = 1, g(−1)=2+1=3≠g(1)g(-1) = 2 + 1 = 3 ≠ g(1)），且 g(−x)≠−g(x)g(-x) ≠ -g(x)（因 g(−1)=3g(-1) = 3, −g(1)=−1≠3-g(1) = -1 ≠ 3）。\n进一步验证：\ng(x)+g(−x)=(−3x2+7x2+1−x)+(−3x2+7x2+1+x)=2(−3x2+7)x2+1≠0（非常数零函数）,g(x) + g(-x) = \left( \frac{-3x^2 + 7}{x^2 + 1} - x \right) + \left( \frac{-3x^2 + 7}{x^2 + 1} + x \right) = \frac{2(-3x^2 + 7)}{x^2 + 1} \ne 0 \text{（非常数零函数）},\ng(−x)−g(x)=2x≠0（不恒为零）.g(-x) - g(x) = 2x \ne 0 \text{（不恒为零）}.\n故 g(x)g(x) 既不是奇函数，也不是偶函数。\n\n答：（1）a=−3a = -3, b=0b = 0, c=7c = 7；（2）g(x)g(x) 既不是奇函数，也不是偶函数。

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