29．（2023•天津模拟）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足：$\frac{2{S_n}}{n}={a_n}+1({n\in {N^*}})$．
（1）求证：数列$\{a_{n}\}$为等差数列；
（2）若$a_{2}=3$，数列$\{b_{n}\}$满足$b_{1}=a_{1}$，$b_{3}=a_{3}-1$，$lgb_{n}+lgb_{n+2}=2lgb_{n+1}(n\in N^{*})$，记$T_{n}$为$\{b_{n}\}$的前$n$项和，求证：$T_{n}\cdot T_{n+2}<T_{n+1}^{2}$；
（3）在（2）的前提下，记，数列$\{c_{n}\}$的前$2n$项和为$K_{2n}$，若不等式$(-1)^{n}\lambda +\frac{4^n}{4n+1}<{K_{2n}}$对一切$n\in N^{*}$恒成立，求$\lambda$的取值范围．