6. 安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是$25$、选择餐厅乙就餐的概率为$75$，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是$50$、选择餐厅甲就餐的概率也为$50$，如此往复．假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是$\frac{2}{3}$，择餐厅乙就餐的概率是$\frac{1}{3}$，记某同学第$n$天选择甲餐厅就餐的概率为$P_{n}$．
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为$X$，求$X$的分布列，并求$E(X)$；
（2）请写出$P_{n+1}$与$P_{n}(n\in N*)$的递推关系；
（3）求数列$\{P_{n}\}$的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由．