35. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中$\angle B=\frac{\pi }{2},AB=a,BC=\sqrt{3}a$．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道$MN$，且两边是两个关于走道$MN$对称的三角形$(\Delta AMN$和△$A'MN)$．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点$M$与点$A$，$B$均不重合，$A'$落在边$BC$上且不与端点$B$，$C$重合，设$\angle AMN=\theta$．
（1）若$\theta =\frac{\pi }{3}$，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求$AN$，$A'N$的长度最短，求此时绿地公共走道$MN$的长度．