#f1d13b00-5bfe-47c5-a43f-913a453eb7a2简单解答题对数与对数函数函数
对数函数的定义域、单调性与不等式求解
已知函数 f(x)=log2(x2−4x+3)。
（1）求函数 f(x) 的定义域；
（2）判断 f(x) 在其定义域内的单调区间，并说明理由；
（3）解不等式 f(x)>1。
解析
（1）由对数函数真数大于0，得 x2−4x+3>0。
解二次不等式：x2−4x+3=(x−1)(x−3)>0，
得 x<1 或 x>3。
故函数 f(x) 的定义域为 (−∞,1)∪(3,+∞)。
（2）令 u(x)=x2−4x+3，则 f(x)=log2u(x)。由于底数 2>1，log2u 关于 u 是严格增函数，因此 f(x) 的单调性由 u(x) 的单调性及符号共同决定。
在定义域内：
- 当 x∈(−∞,1) 时，u(x) 是开口向上的二次函数，对称轴为 x=2，故在 (−∞,1) 上 u(x) 单调递减，且 u(x)>0，因此 f(x)=log2u(x) 也单调递减；
- 当 x∈(3,+∞) 时，u(x) 单调递增，且 u(x)>0，故 f(x) 单调递增。
综上，f(x) 在 (−∞,1) 上单调递减，在 (3,+∞) 上单调递增。
（3）解不等式 f(x)>1，即 log2(x2−4x+3)>1。
由对数函数单调性（底数 >1），等价于：
x2−4x+3>21=2,
即 x2−4x+1>0。
解该不等式：判别式 Δ=(−4)2−4⋅1⋅1=16−4=12，
根为 x=/4±√(12)2=/4±2√(3)2=2±√(3)。
故 x2−4x+1>0 的解集为 (−∞,2−√(3))∪(2+√(3),+∞)。
再与定义域 (−∞,1)∪(3,+∞) 取交集：
- (−∞,2−√(3))∩(−∞,1)=(−∞,2−√(3))（因 2−√(3)≈2−1.732=0.268<1）；
- (2+√(3),+∞)∩(3,+∞)=(3,+∞)（因 2+√(3)≈3.732>3，故交集为 (2+√(3),+∞)）。
注意：需验证 2+√(3)>3 成立（√(3)>1），因此 (2+√(3),+∞)⊂(3,+∞)，交集即为 (2+√(3),+∞)。
综上，原不等式的解集为：
(−∞,2−3)∪(2+3,+∞).