#05ae8954-e5c1-4f66-821d-778721746bb0中等解答题导数与零点问题导数
5．（2023春•咸阳期末）已知函数． （1）求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）记，若当时，恒成立，求正实数的取值范围．
解析
【主解法】
第1步：（1）由f(x)=xln(x+1)，得f\prime (x)=ln(x+1)+(x)/(x+1)， \thereforef\prime (1)=ln2+(1)/(2)，又f（1）=ln2， \therefore曲线y=f(x)在点(1，f（1）
写出函数f(x)的解析式
第2步：即y=(ln2+(1)/(2))x-(1)/(2)；
写出本步骤的数学表达式
第3步：（2）\becausef(x)=xln(x+1),g(x)=a(x+(1)/(x+1)-1)， \thereforeh(x)=g(x)-f(x)=ax+(a)/(x+1)-a-xln(x+1),x∈ (-1,0)， \thereforeh\prime (x)
写出f(x)的表达式
第4步：令y=x^{2}+3x+2，改函数在(-1,0)上单调递增，可得x^{2}+3x+2∈ (0,2)．
写出本步骤的数学表达式
第5步：当a≥ 1时，2a-(x^{2}+3x+2)>0，则h\prime \prime (x)>0， \therefore h\prime (x)在(-1,0)上单调递增，有h\prime (x)<h\prime (0)=0， \therefore h(x)在
计算h″(x)>0成立时h′(x)的极小值点横坐标
第6步：当0<a<1时，存在实数x_{0}∈ (-1,0)，使x∈ (x_{0}，0)时，2a-(x^{2}+3x+2)<0，
当0<a<1时，存在实数x_{0}∈ (-1,0)，使x∈ (x_{0}，0)时，2a-(x^{2}+3x+2)<0，
第7步：即h\prime \prime (x)<0，\therefore h\prime (x)在(x_{0}，0)上单调递减， \therefore h\prime (x)>h\prime (0)=0，则h(x)在(x_{0}，0)上单调递增， \therefore x\
计算h′(x)在x=0处的函数值