2022高考函数恒成立/参数讨论/函数性质综合(解答)

已知函数 $f(x) = e^x - ax^2 - x - 1$，其中 $a \in \mathbb{R}$。

（1）当 $a = 0$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

（3）设 $g(x) = \frac{e^x - 1}{x}$（$x > 0$），证明：$g(x) > 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{6}$。