10．（2023•武功县校级模拟）将函数$f(x)=2\sin (\omega x+\frac{\pi }{6})(\omega >0)$的图像向右平移$\frac{\pi }{6\omega }$个单位，得到函数$y=g(x)$的图像，若$y=g(x)$在$[{0,\frac{\pi }{3}}]$上为增函数，则$\omega$的取值范围是$($　　$)$