双变量不等式证明

已知函数 $f(x) = \ln x - x + 1$。
（1）证明：当 $x > 0$ 时，$f(x) \leq 0$；
（2）设 $a, b$ 为不相等的正数，且 $a + b = 2$，证明：$\ln a + \ln b < 0$。