22．（2023•渭南模拟）已知首项为1的数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$nS_{n+1}-(n+2)S_{n}=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$．
（1）求$S_{n}$及数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）数列$\{a_{n}\}$中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如果不存在，请说明理由．
（3）若数列$\{b_{n}\}$满足$a_{2n+1}\cdot b_{n}=a_{2n}$，求证：$b_{1}\cdot b_{2}\cdot b_{3}\dotsb \dotsb b_{n}<\frac{1}{n+1}$．