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#53ef8500-d6e5-4bab-ad82-974e714cc93d中等解答题导数与函数极值最值导数及其应用

恒成立问题(参数分离)

已知函数 f(x)=lnxaxf(x) = \ln x - ax,若 f(x)0f(x) \leq 0 对一切 x>0x > 0 恒成立,求实数 aa 的取值范围。

解析
分离参数:lnxxa\frac{\ln x}{x}\leq ax>0x>0)。设 g(x)=lnxxg(x)=\frac{\ln x}{x}g(x)=1lnxx2g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}ggx=ex=e 取最大值 g(e)=1eg(e)=\frac{1}{e}。故 a1ea\geq\frac{1}{e}