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#6dfa9630-3778-4b02-8766-1bd8cead3fa4
中等
解答题
导数与零点问题
导数及其应用
考点来源：
一数《【导数热门】零点与找点！姥姥级串讲！》
一数《导数与「指对同构」保姆级讲解》
函数零点与参数范围
已知函数
f
(
x
)
=
x
e
x
−
a
f(x) = xe^x - a
f
(
x
)
=
x
e
x
−
a
（
a
∈
R
a \in \mathbb{R}
a
∈
R
），讨论
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
零点的个数。
解析
令
x
e
x
=
a
xe^x=a
x
e
x
=
a
。设
g
(
x
)
=
x
e
x
g(x)=xe^x
g
(
x
)
=
x
e
x
，
g
′
(
x
)
=
(
x
+
1
)
e
x
=
0
g'(x)=(x+1)e^x=0
g
′
(
x
)
=
(
x
+
1
)
e
x
=
0
得
x
=
−
1
x=-1
x
=
−
1
。
g
g
g
在
(
−
∞
,
−
1
)
(-\infty,-1)
(
−
∞
,
−
1
)
递减，
(
−
1
,
+
∞
)
(-1,+\infty)
(
−
1
,
+
∞
)
递增，极小值
g
(
−
1
)
=
−
1
/
e
g(-1)=-1/e
g
(
−
1
)
=
−
1/
e
。
g
(
x
)
→
+
∞
g(x)\to+\infty
g
(
x
)
→
+
∞
（
x
→
+
∞
x\to+\infty
x
→
+
∞
），
g
(
x
)
→
0
−
g(x)\to 0^-
g
(
x
)
→
0
−
（
x
→
−
∞
x\to-\infty
x
→
−
∞
）。故：
a
<
−
1
/
e
a<-1/e
a
<
−
1/
e
时0个零点；
a
=
−
1
/
e
a=-1/e
a
=
−
1/
e
时1个零点（
x
=
−
1
x=-1
x
=
−
1
）；
−
1
/
e
<
a
<
0
-1/e<a<0
−
1/
e
<
a
<
0
时2个零点；
a
=
0
a=0
a
=
0
时1个零点（
x
=
0
x=0
x
=
0
）；
a
>
0
a>0
a
>
0
时1个零点。
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