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#786e9c24-e43f-45a2-ae54-7b2484840635简单解答题函数的概念函数
考点来源：一数《导数的基本概念与常见函数的导数》一数《二次函数与不等式》一数《【第4章】【模块3】【第2节】 三角函数图象的变换（常规）》一数《【模块二】3 简单的比较指、对数大小问题（偏基础版）》一数《【模块1】【第1节】函数概念（偏基础版）》一数《BV1Rju2z8E92》

函数概念辨析与定义域求解

已知集合 A={−1,0,1,2}A = \{-1, 0, 1, 2\}，集合 B={0,1,2,3,4}B = \{0, 1, 2, 3, 4\}。定义对应关系 f:A→Bf: A \to B，满足 f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1。 （1）判断该对应是否构成从 AA 到 BB 的函数，并说明理由； （2）若将 AA 改为实数集 R\mathbb{R}，即考虑对应 f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}，f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1，求使得 f(x)∈Bf(x) \in B 成立的所有实数 xx 组成的集合（其中 B={0,1,2,3,4}B = \{0, 1, 2, 3, 4\}）。

解析
（1）是函数。理由：根据函数的定义，对于集合 AA 中的每一个元素 xx，按照对应关系 f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1，都能唯一确定一个 BB 中的元素： f(-1) &= (-1)^2 + 1 = 2 ∈ B, \\ f(0) &= 0^2 + 1 = 1 ∈ B, \\ f(1) &= 1^2 + 1 = 2 ∈ B, \\ f(2) &= 2^2 + 1 = 5 ∉ B. 注意到 f(2)=5f(2) = 5，而 5∉B5 \notin B，因此 f(2)f(2) 不在陪域 BB 中。但函数定义要求：对定义域 AA 中每个 xx，f(x)f(x) 必须属于陪域 BB（即映射必须“落地”于 BB）。由于 f(2)=5∉Bf(2) = 5 \notin B，该对应不满足函数定义。故**不构成从 AA 到 BB 的函数**。 （2）当 A=RA = \mathbb{R}，f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}，f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1，要求 f(x)∈B={0,1,2,3,4}f(x) \in B = \{0,1,2,3,4\}，即 x2+1∈{0,1,2,3,4}x^2 + 1 \in \{0,1,2,3,4\}。 逐一讨论： - x2+1=0⇒x2=−1x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1，无实数解； - x2+1=1⇒x2=0⇒x=0x^2 + 1 = 1 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0； - x2+1=2⇒x2=1⇒x=±1x^2 + 1 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1； - x2+1=3⇒x2=2⇒x=±2x^2 + 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}； - x2+1=4⇒x2=3⇒x=±3x^2 + 1 = 4 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}。 综上，满足条件的实数 xx 构成的集合为： {0, −1, 1, −2, 2, −3, 3}.\left\{0,\, -1,\, 1,\, -\sqrt{2},\, \sqrt{2},\, -\sqrt{3},\, \sqrt{3}\right\}.

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