函数概念辨析与定义域求解

已知集合 $A = \{-1, 0, 1, 2\}$，集合 $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$。定义对应关系 $f: A \to B$，满足 $f(x) = x^2 + 1$。

（1）判断该对应是否构成从 $A$ 到 $B$ 的函数，并说明理由；

（2）若将 $A$ 改为实数集 $\mathbb{R}$，即考虑对应 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$f(x) = x^2 + 1$，求使得 $f(x) \in B$ 成立的所有实数 $x$ 组成的集合（其中 $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$）。