2025高考函数解答(压轴候选)

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$．对于正实数 $a$，定义集合
$$A_a = \left\{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \,\middle|\, f \text{ 可导，且 } \forall x \in \mathbb{R},\; |f'(x)| \leq a \right\}.$$
（1）若 $f(x) = x^2$，判断 $f$ 是否是 $A_1$ 中的元素，请说明理由；
（2）若 $f(x) = \sin(ax) + \cos(ax)$，求使 $f \in A_{\sqrt{2}}$ 成立的正实数 $a$ 的取值范围；
（3）设 $f(x)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = e^{-x}(x^4 - 6x^2 + 5)$，且对任意 $x \in \mathbb{R}$，均有 $|f'(x)| \leq 4$．
　　（ⅰ）写出 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的完整解析式；
　　（ⅱ）证明：对任意实数 $c$，函数 $g(x) = f(x) - c$ 在区间 $[-3, 3]$ 上至多有 $9$ 个零点。