充分条件与必要条件的集合刻画

已知集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4ax + 3a^2 < 0\}$，集合 $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - (a+2)x + 2a < 0\}$，其中 $a \in \mathbb{R}$。

（1）当 $a = 1$ 时，求集合 $A$ 和 $B$；

（2）若“$x \in A$”是“$x \in B$”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围。