2024高考导数与函数综合解答(压轴候选)

21. 对于一个可微函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 和平面上一点 $P = (a, b)$，定义点 $Q = (x, f(x))$ 到 $P$ 的欧氏距离为 $d(x) = \sqrt{(x - a)^2 + (f(x) - b)^2}$。若 $x_0 \in \mathbb{R}$ 满足 $d(x_0) = \min_{x \in \mathbb{R}} d(x)$，则称点 $Q_0 = (x_0, f(x_0))$ 是 $P$ 在曲线 $y = f(x)$ 上的“最近点”。

（1）设 $f(x) = e^x$，$P = (0, 0)$。求证：存在唯一的 $x_0 \in \mathbb{R}$，使得 $Q_0 = (x_0, e^{x_0})$ 是 $P$ 在曲线 $y = e^x$ 上的“最近点”；

（2）设 $f(x) = \ln x$（定义域为 $(0, +\infty)$），$P = (0, 1)$。判断是否存在点 $Q = (x_0, \ln x_0)$ 是 $P$ 在曲线 $y = \ln x$ 上的“最近点”，且直线 $PQ$ 与曲线在 $Q$ 处的切线互相垂直；

（3）已知函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 可导，且其导函数 $f'$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒正（即 $f'(x) > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立）。设点 $P_t = (t, 0)$，其中 $t \in \mathbb{R}$。若对任意实数 $t$，均存在点 $Q_t = (x_t, f(x_t))$ 是 $P_t$ 在曲线 $y = f(x)$ 上的“最近点”，试判断 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上的单调性，并严格证明你的结论。