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#985fe42d-cc03-4418-bf7b-2d4560ac32af基础解答题函数模型及其应用函数

15．已知某种圆柱形饮料罐的容积 $V$ 为定值，设底面半径为 $r$ ．（1）试把饮料罐的表面积 $S$ 表示为 $r$ 的函数；（2）求 $r$ 为多少时饮料罐的用料最省？

解析

【解答】解：（1）设圆柱形饮料罐的高为

h

，则

V=\pi r^{2}h

，则

h=\frac{V}{\pi {r}^{2}}

，

\therefore

饮料罐的表面积

S=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi {r}^{2}}=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r}

，

r\in (0,+\infty )

；（2）由（1）得

S=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r}

，

r\in (0,+\infty )

，则

S'=4\pi r-\frac{2V}{{r}^{2}}

，由

S'=0

得

r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}

，由

S'>0

得

r>\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}

，由

S'<0

得

0<r<\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}

，

\therefore

函数

S

在

(0,\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }})

上单调递减，在

(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}

，

+\infty )

上单调递增，

\therefore

当

r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}

时，

S

取得极小值也是最小值，故

r

为

\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}

时饮料罐的用料最省．

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