20．（2023•万州区校级模拟）如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形$ABCDEF$各边的三等分点$A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$，$D_{1}$，$E_{1}$，$F_{1}$，作第2个正六边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$，然后再取正六边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$各边的三等分点$A_{2}$，$B_{2}$、$C_{2}$、$D_{2}$，$E_{2}$，$F_{2}$，作第3个正六边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}E_{2}F_{2}$，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，由△$A_{1}BB_{1}$，△$A_{2}B_{1}B_{2}$，$\ldots$构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的面积与正六边形$ABCDEF$的面积的比值趋近于$($　　$)$