10．（2022•三河市模拟）某人玩硬币走跳棋的游戏．已知硬币出现正反面的概率都是$\frac{1}{2}$，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、$\ldots \ldots$、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从$k$到$k+1)$；若掷出反面，棋子向前跳两站（从$k$到$k+2)$，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束．设棋子跳到第$n$站的概率为$P_{n}$．
（1）求$P_{0}$、$P_{1}$、$P_{2}$的值；
（2）求证：$P_{n}-P_{n-1}=-\frac{1}{2}(P_{n-1}-P_{n-2})$，其中$n\in N$，$2\leqslant n\leqslant 99$；
（3）求玩该游戏获胜的概率及失败的概率．